Büyük Sayılar Yasası ve Merkezi Limit Teoremi

Büyük Sayılar Yasası

Büyük sayılar yasası bir rassal değişkenin uzun vadeli kararlılığını tanımlayan bir olasılık teoremidir. Örneğin bir parayı attığımızda yazı ve tura olarak iki olasılık mevcuttur ve yazı gelme olasılığımız 0.5'tir.Şimdi bu parayı 5 kere attığımızı düşünelim ve ilk 4 atışta tura ve son atışta ise yazı geldiğini varsayalım.Şimdi ise olasılığımız 0.2 oldu.Bu parayı 100,1000 hatta 10000 kere atarsak yazı ve tura gelme durumlarının birbirine yaklaştığını görürüz.Gözlem sayısı arttıkça yazıların (ya da turaların) sıklığı %50'ye yaklaşacaktır.Bunu örnek bir uygulamayla gözlemleyelim.

Görüldüğü gibi 10488576.atışta yazı olasılığının %50'ye çok yaklaştığını görüyoruz.

Büyük sayılar yasasının büyük sayıda gözlem yapıldığı zaman etkili olacağı unutulmamalıdır. Küçük miktardaki gözlem için sonucun beklenen değere yaklaşacağını veya bir sapmanın hemen bir başkasıyla “dengeleneceğini” beklemek için bir neden yoktur.

Merkezi Limit Teoremi

Merkezi limit teoremi büyük bir sayıda olan bağımsız ve aynı dağılım gösteren rassal değişkenlerin (eğer sonlu varyans değerleri bulunuyorsa) aritmetik ortalamasının, yaklaşık olarak normal dağılım (yani Gauss dağılımı) göstereceğini ifade eden bir teoremdir (https://tr.wikipedia.org/wiki/Merkezi_limit_teoremi)

Merkezi limit teoreminin altında yatan temel prensip uygun bir şekilde seçilen büyük bir örneklemin seçildiği popülasyona benzeyeceğidir. Eğer elimizde uygun şekilde seçilmiş örneklemle ilgili detaylı bir bilgi (ortalama ve standart sapma) varsa bu örneklemin içinden alındığı popülasyonla ilgili kesin ve doğru çıkarımlarda bulunabiliriz(Wheelan,Çıplak İstatistik)

Örneklem ortalamalarının normal dağılıma uyması için örneklemlerin çekildiği popülasyonun normal bir dağılıma sahip olması gerekmemektedir.

Genel bir kural olarak, 30’a eşit veya daha büyük olan örneklem büyüklükleri merkezi limit teoreminin tutulması için yeterli kabul edilir, yani örneklem sayısı 30 ya da daha fazla olan popülasyonların ortalamalarının dağılımı normal dağılımdır.

Örnekleme ait standart sapma popülasyonun standart sapmasının,seçilen örneklem büyüklüğünün yani seçilen gözlem sayısının kareköküne bölünmesiyle bulunmaktadır. Örneklem ortalamasının standart sapması ise standart hatayı ifade etmektedir. Örneklem ortalamaların pek çoğu popülasyon ortalamasına oldukça yakın bir yerde olacaktır.Burada “oldukça yakın” olmasını sağlayan şey standart hatadır.Bunu bir örnekle anlamaya çalışalım. Ortalaması 8o kg ve standart sapması 15 olan bir erkek nüfusunu düşünelim.Aynı popülasyondan 100 tane örneklem alırsak ve bu ortalamaları bir grafikte toplarsak normal dağılım elde edileceği ve dağılımın, popülasyonun ortalamasının etrafında olacağı görülecektir.

Merkezi limit teoremi bize bir örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından belirli bir mesafede olma olasılığını söyler.Bir örneklem ortalamasının popülasyon ortalamasından iki standart hata uzakta olması düşük bir ihtimaldir,üç standart hata ve daha fazla uzakta olması ise daha da düşük bir ihtimaldir (Wheelsan,Çıplak İstatistik).

Bu alanda faydalı olabilecek kaynakları aşağıda listeledim.

Industrial Engineering Student at Sakarya University

Get the Medium app

A button that says 'Download on the App Store', and if clicked it will lead you to the iOS App store
A button that says 'Get it on, Google Play', and if clicked it will lead you to the Google Play store